Asie, juin 2021

Partie I

Considérons l'équation différentielle \(y'= -0,\!4y + 0,\!4\) , où \(y\) désigne une fonction de la variable \(t\) , définie et dérivable sur \([0~; + \infty[\) .

1. a. Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.
    b. En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.
    c. Déterminer la fonction \(g\) , solution de cette équation différentielle, qui vérifie \(g(0) = 10\) .

Partie II
Soit \(p\) la fonction définie sur l'intervalle  \([0~; + \infty[\) par \(p(t) = \dfrac{1}{g(t)} = \dfrac{1}{1 + 9\text e^{-0,4t}}\) . On admet que \(p\) est dérivable sur   \([0~; + \infty[\)   .

1. Déterminer la limite de \(p\) en \(+ \infty\) .

2. Montrer que \(p'(t) = \dfrac{3,\!6\text e^{-0,4t}}{ \left(1 + 9\text e^{-0,4t}\right)^2}\) pour tout \(t \in [0~;+ \infty[\) .

3. a. Montrer que l'équation \(p(t) = \dfrac{1}{2}\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([0~; + \infty[\) .
     b. Déterminer une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-1}\) près à l'aide d'une calculatrice.

Partie III

1.  \(p\) désigne la fonction de la Partie II. Vérifier que \(p\) est solution de l'équation différentielle \(y' = 0,\!4y(1 - y)\) avec la condition initiale  \(y(0) = \dfrac{1}{10}\) où \(y\) désigne une fonction définie et dérivable sur \([0~; + \infty[\) .

2. Dans un pays en voie de développement, en l'année  \(2020\) , \(10\) % des écoles ont accès à Internet.
Une politique volontariste d'équipement est mise en œuvre et on s'intéresse à l'évolution de la proportion des écoles ayant accès à Internet.
On note \(t\) le temps écoulé, exprimé en année, depuis l'année \(2020\) .
La proportion des écoles ayant accès à Internet à l'instant \(t\) est modélisée par \(p(t)\) .
Interpréter dans ce contexte la limite de la question II.1. puis la valeur approchée de \(\alpha\) de la question II.3.b. ainsi que la valeur \(p(0)\) .